Question

15．（1）已知$tanβ=\frac{1}{2}$，求sin²β-3sinβcosβ+4cos²β的值．
（2）求函数定义域：$y=\sqrt{-2{{cos}^2}x+3cosx-1}+lg（36-{x^2}）$．

Answer 1

分析 （1）利用“弦化切”的思想，sin²β-3sinβcosβ+4cos²β=$\frac{si{n}^{2}β-3sinβcosβ+4co{s}^{2}β}{si{n}^{2}β+co{s}^{2}β}$，同时除以cosβ，可转化为tanβ，可得答案．
（2）根据函数有意义，被开方数≥0，对数的真数＞0，求解即可．

解答 解：（1）由sin²β-3sinβcosβ+4cos²β=$\frac{si{n}^{2}β-3sinβcosβ+4co{s}^{2}β}{si{n}^{2}β+co{s}^{2}β}$=$\frac{ta{n}^{2}β-tanβ+4}{ta{n}^{2}β+1}$
∵$tanβ=\frac{1}{2}$，
∴sin²β-3sinβcosβ+4cos²β=$\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+4}{\frac{1}{4}+1}$=3．
（2）函数$y=\sqrt{-2{{cos}^2}x+3cosx-1}+lg（36-{x^2}）$．
其定义域满足：$\left\{\begin{array}{l}{2co{s}^{2}x-3cosx+1≤0}\\{36-{x}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤cosx≤1}\\{-6＜x＜6}\end{array}\right.$，
从而有：$\left\{\begin{array}{l}{2πk≤x≤\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z}\\{-6＜x＜6}\end{array}\right.$，
∴函数定义域为（-6，$-\frac{5π}{3}$]∪[0，$\frac{π}{3}$]

点评 本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．