Question

如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N．现将圆形纸片放在平面直角坐标系xoy中，设圆C：（x+1）²+y²=4a²（a＞1），A（1，0），记点N的轨迹为曲线E．
（1）证明曲线E是椭圆，并写出当a=2时该椭圆的标准方程；
（2）设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e∈[

1

2

，

3

2

]，求点Q的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意知NA=NM，N的轨迹是以C、A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆．由题高级条件能求出其椭圆方程．
（2）设椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1，直线l的方程为

x

-1

+

y

b

=1，设Q（x，y），由点Q与点A（1，0）关于直线l对称，知

y x-1 •b=-1 b• x+1 2 - y 2 +b=0

，消去x，得y=

4b

b2+1

．再由e∈[

1

2

，

3

2

]可推导出点Q的纵坐标的取值范围．

解答：解：（1）依题意：直线m为线段AM的垂直平分线，∴NA=NM，
∴NC+NA=NC+NM=2a＞2，
∴N的轨迹是以C、A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆．
当a=2时，长轴长为2a=4，焦距为2c=2，∴b²=3．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1，由（1）知：b²=a²-1，
又C（-1，0），B（0，b），
∴直线l的方程为

x

-1

+

y

b

=1，即bx-y+b=0．
设Q（x，y），∵点Q与点A（1，0）关于直线l对称，
∴

y x-1 •b=-1 b• x+1 2 - y 2 +b=0

，消去x，得y=

4b

b2+1

．
∵e∈[

1

2

，

3

2

]，∴

1

4

≤

1

a2

≤

3

4

，
∴

4

3

≤a2≤4，∴

4

3

≤b2+1≤4，∴

3

3

≤b≤

3

．
∴y=

4b

b2+1

=

4

b+ 1 b

≤

4

2

=2，当且仅当b=1时取等号，
又当b=

3

时，y=

3

，当b=

3

3

时，y=

3

，
∴点Q的纵坐标的取值范围是[

3

，2]．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答．