Question

（2013•许昌三模）已知f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若a≠0 求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出切点坐标，斜率k，k=f′（1），用点斜式即可求出方程；
（Ⅱ）解含参的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅲ）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．

解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x³+x²-x+2，
∴f′（x）=3x²+2x-1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，所有切点坐标为（1，3）．
∴所求切线方程为y-3=4（x-1），即4x-y-1=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）由f′（x）=0，得x=-a或x=

a

3

．
（1）当a＞0时，由f′（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

；由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞

a

3

，
此时f（x）的单调递减区间为（-a，

a

3

），单调递增区间为（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）．
（2）当a＜0时，由f′（x）＜0，得

a

3

＜x＜-a；由f′（x）＞0，得x＜

a

3

或x＞-a．
此时f（x）的单调递减区间为（

a

3

，-a），单调递增区间为（-∞，

a

3

）和（-a，+∞）．
综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（-a，

a

3

），单调递增区间为（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调递减区间为（

a

3

，-a），单调递增区间为（-∞，

a

3

）和（-a，+∞）．
（Ⅲ）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，
等价于2xlnx≤3x²+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx-

3x

2

-

1

2x

，则h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

．
令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	单调递增	-2	单调递减

∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2．
∴a的取值范围是[-2，+∞）．

点评：本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．