Question

如图， 在三棱锥中，．

（1）求证：平面平面；
（2）若，，当三棱锥的体积最大时，求的长．

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）利用已知条件先证明平面，然后再利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（2）方法1：利用（1）中的提示信息说明平面，将视为三棱锥的高，设，将底面积用表示出来，最后将三棱锥用以的代数式进行表示，并结合基本不等式求最大值；方法2：由于为直角三角形，将的面积用以为自变量的三角函数表示，最终将三棱锥的体积用三角函数进行表示，最后利用三角函数的相关方法求体积的最大值.
试题解析：（1）证明：因为，所以，．        1分
因为，所以平面．                      2分
因为平面，所以．                        3分
因为，所以．                          4分
因为，所以平面．                      5分
因为平面，所以平面平面．                  6分
（2）方法1：由已知及（1）所证可知，平面，，
所以是三棱锥的高．           7分

因为，，设，     8分
所以．    9分
因为
                              10分

                            11分
．                                 12分
当且仅当，即时等号成立．                     13分
所以当三棱锥的体积最大时，．                   14分
方法2：由已知及（1）所证可知，平面，
所以是三棱锥的高．                           7分
因为，设，                    8分
则，．                 9分
所以．               10分
所以
．                               11分
因为，
所以当，有最大值．                          12分
此时．                              13分
所以当三棱锥的体积最大时，．                   14分