Question

已知函数f(x)＝log_a(a＞1且b＞0)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数的奇偶性；

(3)判断f(x)的单调性，并用定义证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由解得x＜－b或x＞b． 　　∴函数f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞); 　　(2)由于f(－x)＝loga()＝loga()＝loga()－1＝－loga()＝－f(x)，所以f(x)为奇函数; 　　(3)设x1、x2是区间(b，＋∞)上任意两个值，且x1＜x2． 　　则－＝ 　　∵b＞0，x1－x2＜0，x2－b＞0，x1－b＞0， 　　∴－＜0．∴＜． 　　又a＞1时，函数y＝logax是增函数， 　　∴loga＜loga， 　　即f(x2)＜f(x1)． 　　∴函数f(x)在区间(b，＋∞)上是减函数． 　　同理，可证f(x)在(－∞，－b)上也是减函数． 　　说明：f(x)在两个区间上具有相同的单调性，不一定在两个区间的并集上具有相同的单调性，因此不能写成f(x)在(－∞，－b)∪(b，＋∞)上是减函数．

提示：

本题考查定义域、单调性的求法及判断方法，注意要利用定义求解．