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设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若直线AP与BP的斜率之积为-
1
2
,求椭圆的离心率;
(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>
3
(1)设P(x0,y0),∴
x02
a2
+
y02
b2
=1

∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右顶点分别为A,B,∴A(-a,0),B(a,0)
kAP=
y0
x0+a
kBP=
y0
x0-a

∵直线AP与BP的斜率之积为-
1
2
,∴x02=a2-2y02
代入①并整理得(a2-2b2)y02=0
∵y0≠0,∴a2=2b2
e2=
a2-b2
a2
=
1
2

e=
2
2

∴椭圆的离心率为
2
2

(2)证明:依题意,直线OP的方程为y=kx,设P(x0,kx0),∴
x02
a2
+
k2x02
b2
=1

∵a>b>0,kx0≠0,∴
x02
a2
+
k2x02
a2
<1

(1+k2)x02a2
∵|AP|=|OA|,A(-a,0),
(x0+a)2+k2x02=a2
(1+k2)x02+2ax0=0
x0=
-2a
1+k2

代入②得(1+k2)(
-2a
1+k2
)
2
a2

∴k2>3
∴直线OP的斜率k满足|k|>
3
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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

过点A(0,2)可以作 ______条直线与双曲线x2-
y2
4
=1
有且只有一个公共点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

过抛物线y2=2px焦点F作直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△ABO为(  )
A.锐角三角形B.直角三角形C.不确定D.钝角三角形

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知F1,F2分别为椭圆C1
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)的上下焦点,其F1是抛物线C2:x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF2|=
3
5

(1)试求椭圆C1的方程;
(2)与圆x2+(y+1)2=1相切的直线l:y=k(x+t)(t≠0)交椭圆于A,B两点,若椭圆上一点P满足
OA
+
OB
OP
,求实数λ的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

抛物线y2=2px(p>0),其准线方程为x=-1,过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点.
(Ⅰ)若点A为MB中点,求直线l的方程;
(Ⅱ)设抛物线的焦点为F,当AF⊥BF时,求△ABF的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(200个•陕西)已知椭圆C:
x2
2
+
y2
b2
=1
(个>b>0)的离心率为
3
,短轴一个端点到右焦点的距离为
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于个、B两点,坐标原点O到直线l的距离为
3
2
,求△个OB面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知点P在椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,满足|PF1|=6-|PF2|,且椭圆C的离心率为
5
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点Q(1,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N,在x轴上是否存在定点G,使得
GM
GN
为定值.若存在,求出所有满足这种条件的点G的坐标;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,是圆的内接三角形,的平分线交圆于点,交于点,过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下,给出下列四个结论:

则所有正确结论的序号是
A.①②B.③④C.①②③D.①②④

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