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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.
(1)由题意,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,∴b=
2
2
=
2

因为离心率e=
c
a
=
3
2
,所以
b
a
=
1
2
,所以a=2
2

所以椭圆C的方程为
x2
8
+
y2
2
=1

(2)证明:由题意可设M,N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y=
y0-1
x0
x+1,①
直线QN的方程为y=
y0-2
-x0
x+2.②…(8分)
设T(x,y),联立①②解得x0=
x
2y-3
,y0=
3y-4
2y-3
.…(11分)
因为
x02
8
+
y02
2
=1
,所以
1
8
x
2y-3
2+
1
2
3y-4
2y-3
2=1.
整理得
x2
8
+
(3y-4)2
2
=(2y-3)2,所以
x2
8
+
9y2
2
-12y+8=4y2-12y+9,即
x2
8
+
y2
2
=1

所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.…(14分)
练习册系列答案
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如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF∶FB∶BE=4∶2∶1,若CE与圆相切,求线段CE的长.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知点M(
3
,0),椭圆
x2
4
+y2=1与直线y=k(x+
3
)交于点A、B,则△ABM的周长为(  )
A.4B.8C.12D.16

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(A题)如图,在椭圆
x2
a2
+
y2
8
=1(a>0)中,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,B,D分别为椭圆的左右顶点,A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点,直线AF1交y轴于点E,且点F1,F2三等分线段BD.
(1)若四边形EBCF2为平行四边形,求点C的坐标;
(2)设m=
S△AF1O
S△AEO
,n=
S△CF1O
S△CEO
,求m+n的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

双曲线
x2
v
-
y2
图6
=图
的右焦点是抛物线的焦点,则抛物线的标准方程是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且交抛物线于A,B两点,交其准线于C点,已知|AF|=4,
CB
=3
BF
,则p=(  )
A.2B.
4
3
C.
8
3
D.4

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2
2
,过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于M,N两点,直线AO平分线段MN,求△OMN的面积的最大值及此时直线l的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若直线AP与BP的斜率之积为-
1
2
,求椭圆的离心率;
(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>
3

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知
1
m
+
2
n
=1(m>0,n>0)
,当mn取得最小值时,直线y=-
2
x+2
与曲线
x|x|
m
+
y|y|
n
=1
交点个数为______.

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