Question

若存在过点（1，1）的直线与曲线y=x²+x和y=ax²-x-1都相切，则a等于（　　）

• A、-1或-3
• B、-2或3
• C、-1或3
• D、1或-3

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程，再根据与y=y=ax²-x-1相切，联立方程组，△=0可求出所求．

解答： 解：设直线与曲线y=x²+x的切点坐标为（x₀，y₀），
则

y0=x02+x0 y0-1 x0-1 =2x0+1

，则切线的斜率k=1或k=5，
若k=1，此时切线的方程为y=x，
由y=x与y=ax²-x-1，消去y，可得ax²-2x-1=0，
其中△=0，解可得a=-1；
若k=5，其切线方程为y=5x-4，
由y=5x-4与y=ax²-x-1，消去y可得ax²-6x+3=0，
又由△=0，即36-12a=0，
解可得a=3．
故a=3或-1．
故选：C．

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．