Question

9．在△ABC中，cosA=$\frac{1}{3}$．
（1）求sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （1）原式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后把cosA的值代入计算即可求出值；
（2）将a，cosA的值代入，利用余弦定理可得到b，c的关系式，再由基本不等式及三角形面积公式即可求最大值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，cosA=$\frac{1}{3}$．
∴sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1}{2}$[1-cos（B+C）]+（2cos²A-1）=$\frac{1}{2}$（1+cosA）+（2cos²A-1）=-$\frac{1}{9}$；
（2）∵a=$\sqrt{3}$，cosA=$\frac{1}{3}$，可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴由余弦定理可得：3=b²+c²-$\frac{2}{3}$bc，
∴可得：b²+c²=3+$\frac{2}{3}$bc≥2bc，解得：bc$≤\frac{9}{4}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$≤$\frac{1}{2}×\frac{9}{4}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
所以△ABC面积S的最大值等于$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，余弦定理和基本不等关系的应用，属于基础题．