Question

14．已知实系数多项式f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d满足f（1）=2，f（2）=4，f（3）=6，则f（0）+f（4）的所有可能值集合为{32}．

Answer 1

分析 由f（1）=1，f（2）=4，f（3）=6，可构造函数g（x）=f（x）-2x，易得1，2，3为方程f（x）-2x=0的三个根，而四次方程最多可由四个根，则可设方程f（x）-2x=0的另一根为m，进而得到f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）+10x，代入可求出f（0）+f（4）的值．

解答 解：构造函数g（x）=f（x）-2x，则g（1）=g（2）=g（3）=0，
即1，2，3为方程f（x）-2x=0的三个根
∵方程f（x）-2x=0有四个根，
故可设方程f（x）-2x=0的另一根为m
则f（x）-2x=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）
∴f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-m）+2x
所以f（0）+f（4）=6m+6（4-m）+8=32，
所以f（0）+f（4）的所有可能值集合为{32}．

点评 本题考查了是函数解析式的求法，函数的值，关键是构造出函数g（x）的解析式，利用方程的根的情况得到所求．