Question

18．若$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{{P}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{P{P}_{2}}$（λ≠-1），则$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{1+λ}$（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）．

Answer 1

分析 根据平面向量的线性运算，把$\overrightarrow{{P}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{P{P}_{2}}$用$\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{{OP}_{1}}$和$\overrightarrow{{OP}_{2}}$表示出来即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{{P}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{P{P}_{2}}$（λ≠-1），
∴$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{{OP}_{1}}$=λ（$\overrightarrow{{OP}_{2}}$-$\overrightarrow{OP}$），
∴（1+λ）$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{{OP}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{OP}_{2}}$；
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{1+λ}$（$\overrightarrow{{OP}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{OP}_{2}}$）=$\frac{1}{1+λ}$（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）．
故答案为：$\frac{1}{1+λ}$（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题目．