Question

（1）若（1+x）ⁿ的展开式中，x³的系数是x的系数的7倍，求n；
（2）若（ax+1）⁷（a≠0）的展开式中，x³的系数是x²的系数与x⁴的系数的等差中项，求a；
（3）已知（2x+x^lgx）⁸的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出x³的系数和x的系数，列出方程求出n
（2）利用二项展开式的通项公式求出x³的系数，x²的系数与x⁴的系数，列出方程求出a
（3）利用二项式系数的性质中间项的二项式系数最大，列出方程求出x

解答：解：（1）

C

3 n

=7

C

1 n

，

n(n-1)(n-2)

6

=7n，n2-3n-40=0，由n∈N*，得n=8．
（2）C₇⁵a²+C₇³a⁴=2C₇⁴a³，21a²+35a⁴=70a³，a≠0，
得5a2-10a+3=0?a=1±

10

5

．
（3）展开式共有9项，据二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大
C₈⁴（2x）⁴（x^lgx）⁴=1120，x^4（1+lgx）=1，lg²x+lgx=0，
得lgx=0，或lgx=-1，
所以x=1，或x=

1

10

．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；二项式系数的性质．