Question

4．已知抛物线M：y²=2px（p＞0），其焦点F到直线l：x-y-2t=0的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
（1）若t=1，求抛物线M的方程；
（2）已知t＜0，直线l与抛物线M相交于A，B两点，直线PQ与抛物线M相交于P，Q两点，且满足$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=32，若A，P，B，Q四点在同一个圆Γ上，求圆Γ上的动点到焦点F最小距离．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点，由点到直线的距离公式，解方程可得p=10，进而得到抛物线方程；
（2）由向量垂直和数量积的定义和性质，可得PQ垂直平分AB，由向量的数量积的几何意义可得AB=8，联立直线AB方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，可得t，p的关系式，再由点到直线的距离公式，可得t，p的方程，解得p=4，t=-$\frac{1}{2}$．求得AB的中点，以及直线PQ的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，可得PQ的长即为圆的直径，求得中点N，即为圆心，可得F在圆内，由$\frac{1}{2}$|PQ|-|FN|，可得最小距离．

解答 解：（1）抛物线M：y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
直线l：x-y-2=0，则$\frac{|\frac{p}{2}-0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得p=10（负的舍去），
则抛物线M的方程为y²=20x；
（2）由$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=32，
可得$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{AB}$，（$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{AP}$）•$\overrightarrow{BA}$=（$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{AP}$）•（$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{AP}$）=0，
即有|$\overrightarrow{BP}$|=|$\overrightarrow{AP}$|．
即PQ垂直平分AB，
由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=32，即|$\overrightarrow{AP}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos∠PAB=32，
即为$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=32，解得|AB|=8，
将y=x-2t代入抛物线方程y²=2px，可得
x²-（4t+2p）x+4t²=0，
x₁+x₂=4t+2p，x₁x₂=4t²，
由弦长公式|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（4t+2p）^{2}-16{t}^{2}}$=8，①
又焦点F到直线l：x-y-2t=0的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
则$\frac{|\frac{p}{2}-0-2t|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，②
解得p=4，t=-$\frac{1}{2}$．
则AB的中点坐标为（3，4），
即有PQ的方程为y=-x+7．
代入抛物线y²=8x，可得x²-22x+49=0，
x₃+x₄=22，x₃x₄=49，
PQ的中点坐标为N（11，-4），
由弦长公式可得|PQ|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2{2}^{2}-4×49}$=24，
则圆Γ的半径为12，圆的方程为（x-11）²+（y+4）²=144，
焦点F（2，0），|FN|=$\sqrt{97}$＜12，
则F在圆内，
圆Γ上的动点到焦点F最小距离为12-$\sqrt{97}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查向量的数量积的定义和性质，直线和圆的位置关系，属于难题．