【题目】已知抛物线C1:和圆C2:(x-6)2+(y-1)2=1,过圆C2上一点P作圆的切线MN交抛物线C,于M,N两点,若点P为MN的中点,则切线MN的斜率k>1时的直线方程为( )
A.4x-3y-22=0B.4x-3y-16=0C.2x-y-11+5=0D.4x-3y-26=0
【答案】D
【解析】
设点和直线MN的方程为:,其中,则,联立并结合韦达定理可得,,利用直线MN与圆C2相切,则有,再根据直线C2P与直线MN垂直,则,消去n化简可得,降次整理可得,令,利用导数求出单调性可证明在无解,故可得,代入可求n,从而可求直线MN的方程.
画出曲线图像如下图:
由题意知,切线MN的斜率k存在且不为0,设点,
设直线MN的方程为:,其中,则,
联立,可得,
则有,,,
根据中点坐标公式可得,,,
又直线MN与圆C2相切,则有,即①,
依题意,直线C2P与直线MN垂直,则,
整理得②,
将②代入①并整理得,,
降次化简可得,③,
令,
则,因为,
所以,即在单调递减,
则在上恒成立,即在无解,
从而③式的解只有一个,,代入②式可得,,
所以,直线MN的方程为:,整理得,4x-3y-26=0.
故选:D.
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【题目】已知函数,对于函数有下述四个结论:①函数在其定义域上为增函数;②对于任意的,,都有成立;③有且仅有两个零点;④若,则在点处的切线与在点处的切线为同一直线.其中所有正确的结论有( )
A.①②③B.①③C.②③④D.③④
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率为,为椭圆上位于第一象限上的点,为椭圆的上顶点,直线与轴相交于点,,的面积为6.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆有且只有一个公共点,设椭圆的两焦点到直线的距离分别是,,试问是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.
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【题目】已知F1(﹣c,0),F2(c,0)分別为双曲线1(a>0,b>0)的左、右焦点,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P,若tan∠PF1F2,则该双曲线的离心率为_____.
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【题目】某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效,期中考试后,分别从两个班中各随机抽取名学生的数学成绩进行统计,得到如下的茎叶图:
(Ⅰ)求甲、乙两班抽取的分数的中位数,并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
(Ⅱ)若规定分数在的为良好,现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中,用分层抽样法抽出位同学进行问卷调查,求这位同学中恰含甲、乙两班所有分以上的同学的概率.
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【题目】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异“.意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一,则该几何体的体积为( )
A.πB.πC.4D.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设、为曲线上位于第一,二象限的两个动点,且,射线,交曲线分别于点,.求面积的最小值,并求此时四边形的面积.
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