Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，为椭圆上位于第一象限上的点，为椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，，的面积为6.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆有且只有一个公共点，设椭圆的两焦点到直线的距离分别是，，试问是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，4

【解析】

（Ⅰ）根据离心率为和的面积为6得到关于方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设：，联立直线和椭圆方程得到，再化简即得.综合得为定值.

解：（Ⅰ），，.

由，可知为的中点，，

，即，

，即，，，

所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，：或：，.

当直线的斜率存在时，设：，

联立方程组，

消去整理得，

直线与椭圆有且只有一个公共点，

，

即，

.

综合得为定值4.