Question

已知动点P（x，y）满足约束条件

x+y-3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

，O为坐标原点，定点A（3，4），则向量

OP

在向量

OA

上的投影的取值范围为

[

3

5

，2]．

．

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，利用向量的数量积将投影|

OP

|•cos∠AOP转化成

3x+4y

5

，设z=3x+4y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+4y过可行域内的点时，从而得到|

OP

|•cos∠AOP的最值即可．

解答：解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域（如图），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

| OP |•| OA |cos∠AOP

| OA |

=

OP • OA

| OA |

，而

OA

=（3，4），

OP

=（x，y），OA的长度为5
所以|

OP

|•cos∠AOP=

3x+4y

5

，
令z=3x+4y，即z表示直线y=-

3

4

x+

1

4

z在y轴上的截距，
由图形可知，当直线经过可行域中的点B时，z取到最小值，
由B（1，0），这时z=3，
所以|

OP

|•cos∠AOP=

3

5

，
故|

OP

|•cos∠AOP的最小值等于

3

5

．
由图形可知，当直线经过可行域中的点C时，z取到最大值，
由C（2，1），这时z=10，
所以|

OP

|•cos∠AOP=2，
故|

OP

|•cos∠AOP的最大值等于2．
故答案为：[

3

5

，2]．

点评：本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．