Question

7．已知四棱锥P-ABCD如图（1），它的三视图如图（2）所示，其中PA⊥平面ABCD，△PBC为正三角形．

（1）求证：AC⊥平面PAB；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）过点A作AG⊥BC于G，则AC²+AB²=BC²，即AC⊥AB，由于PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，有PA⊥AC，从而可证AC⊥平面PAB．
（2）分别求出V_C-PAB，V_A-PBC的值，从而可解得h的值．

解答 （1）证明：由三视图可知，PA⊥平面ABCD，
BC=2AD=2CD=2，四边形ABCD为直角梯形．
过点A作AG⊥BC于G，则AG=CD=1，GC=AD=1．
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AC²+AB²=BC²，故AC⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC．
∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB．
（2）解：∵△PBC为正三角形，∴PB=BC=2．
在Rt△PAB中，PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴V_C-PAB=$\frac{1}{3}$S_△PAB•AC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
设点A到平面PBC的距离为h，则
V_A-PBC=$\frac{1}{3}$S_△PBC•h=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}h$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$h．
∵V_C-PAB=V_A-PBC，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，简单空间图形的三视图，属于基本知识的考查．