Question

15．设x，y满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{2x+y≤10}\end{array}\right.$的可行域为M．若存在正实数a，使函数y=2asin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）的图象经过区域M中的点，则这时a的取值范围是$[\frac{1}{2cos1}，+∞）$．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，判断区域的中点的范围，然后推出关系式，即可求解a的范围．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，∴$A（1，\frac{1}{2}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y=10}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=8}\end{array}}\right.$，∴B（1，8）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y=10}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}}\right.$，∴C（4，2），可行域M为如图△ABC，
∵a＞0，$y=2asin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）cos（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=asin（x+\frac{π}{2}）=acosx$过区域M中的点，
而区域中1≤x≤4，
又∵a＞0，函数y=acosx图象过点$（\frac{π}{2}，0），1＜\frac{π}{2}＜4$，
当$x∈（{\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}}）$时，$y＜0，\frac{3π}{2}＞4$，
∴满足y=acosx过区域M中的点，
只须图象与射线$x=1，（y≥\frac{1}{2}）$有公共点．
∴只须x=1时，$acos1≥\frac{1}{2}$，∴$a≥\frac{1}{2cos1}$，
∴所求a的取值范围是$a∈[{\frac{1}{2cos1}，+∞}）$．
故答案为：$[\frac{1}{2cos1}，+∞）$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用三角函数的公式将函数进行化简，以及利用数形结合是解决本题的关键．