Question

20．下列五个命题：
①直线l的斜率k∈[-1，1]，则直线l的倾斜角的范围是$α∈[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$；
②直线l：y=kx+1与过A（-1，5），B（4，-2）两点的线段相交，则k≤-4或$k≥-\frac{3}{4}$；
③如果实数x，y满足方程（x-2）²+y²=3，那么$\frac{y}{x}$的最大值为$\sqrt{3}$；
④直线y=kx+1与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共点，则m的取值范围是m≥1；
⑤方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是$m＜\frac{1}{4}$或m＞1；
正确的是（　　）

• A． ②③
• B． ③④
• C． ②⑤
• D． ②③⑤

Answer 1

分析 ①直线l的斜率k∈[-1，1]，则直线l的倾斜角α满足：-1≤tanα≤1，解出即可判断出．
②直线l经过P（0，1），k_PA=-4，k_PB=-$\frac{3}{4}$，由于直线l与线段AB相交，可得k≤-4或$k≥-\frac{3}{4}$，即可判断出正误；
③设$\frac{y}{x}$=k，则y=kx，当此直线与圆相切时，$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k=$±\sqrt{3}$，即可得出k的最大值，进而判断出正误；
④把直线方程代入椭圆方程可得：（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0，m＞0，m≠5，由直线y=kx+1与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共点，可得△≥0，解得m范围，即可判断出正误；
⑤方程x²+y²+4mx-2y+5m=0配方为：（x+2m）²+（y-1）²=4m²+1-5m，表示圆的充要条件是4m²+1-5m＞0，解得m，即可判断出正误．

解答 解：①设直线l的倾斜角为α，直线l的斜率k∈[-1，1]，则-1≤tanα≤1，直线l的倾斜角的范围是α∈$[0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π）$，因此不正确；
②直线l：y=kx+1与过A（-1，5），B（4，-2）两点的线段相交，直线l经过P（0，1），k_PA=-4，k_PB=-$\frac{3}{4}$，则k≤-4或$k≥-\frac{3}{4}$，正确；
③如果实数x，y满足方程（x-2）²+y²=3，设$\frac{y}{x}$=k，则y=kx，当此直线与圆相切时，$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k=$±\sqrt{3}$，因此k的最大值为$\sqrt{3}$，正确；
④把直线方程代入椭圆方程可得：（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0，m＞0，m≠5，由直线y=kx+1与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共点，可得△=100k²-20（1-m）（m+5k²）≥0，解得0＜m≤1，因此不正确；
⑤方程x²+y²+4mx-2y+5m=0配方为：（x+2m）²+（y-1）²=4m²+1-5m，表示圆的充要条件是4m²+1-5m＞0，解得$m＜\frac{1}{4}$或m＞1，因此正确．
综上可得：正确的是②③⑤．
故选：D．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、直线的斜率、直线与圆锥曲线的位置关系、圆的一般方程与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．