Question

已知m，n∈N，m、n≥1，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展开式中，x的系数为9．求f（x）展开式中x²的系数的最小值．

Answer 1

解：x的系数为C_m¹+C_n¹=9，即m+n=9．∴m=9-n…（4分）
（1）若m=1，n=8，或m=8，n=1时，f（x）=（1+x）+（1+x）⁸
此时，x²的系数为T=C₈²=28…（6分）
（2）若m≠1，且n≠8，或m≠8，且n≠1时x²的系数为T=C_m²+C_n²=．…（9分）
∵m，n∈N，m、n≥1，∴1≤n≤8，且n∈N
∴当n=4或5时，x²系数取得最小值，最小值为16…（12分）
综合（1）（2）得．当n=4或5时，x²系数取得最小值，最小值为16…（13分）
分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x²的系数，将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值
点评：本题考查二项式定理的应用，本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．解题时要认真审题，仔细解答．