Question

设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x²∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=-

1

2

，则

1

4

≤n≤1；③若n=

1

2

，则-

2

2

≤m≤0．其中正确命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根据题中条件：“当x∈S时，有x²∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得

n2≤n n≥1

，②m=-

1

2

，则

n2≤n 1 4 ≥1

对于③若n=

1

2

，则

1 2 ≥m 1 2 ≥m2

，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．

解答：解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x²∈S知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m²∈S即m²≥m，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n∈S时，有n²∈S即n²≤n，正对各个命题进行判断：
对于①m=1，m²=1∈S故必有

n2≤n n≥1

可得n=1，S={1}，
②m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S则

n2≤n 1 4 ≤n

解之可得

1

4

≤n≤1；
对于③若n=

1

2

，则

1 2 ≥m m2≥m 1 2 ≥m2

解之可得-

2

2

≤m≤0，
所以正确命题有3个．
故选D

点评：本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．