Question

（2010•重庆一模）已知向量

OA

=(mcosα，msinα)(m≠0)，

OB

=(-sinβ，cosβ)．其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若α=β+

π

6

且m＞0，求向量

OA

与

OB

的夹角；
（Ⅱ）若|

OB

|≤

1

2

|

AB

|对任意实数α、β都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设它们的夹角为θ，利用向量的数量积公式表示出cosθ，将已知条件α=β+

π

6

代入，利用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角．
（II）利用向量模的坐标公式将已知条件转化为m²+1+2msin（β-α）≥4对任意的α，β恒成立，通过对m分类讨论，求出
m²+1+2msin（β-α）的最小值，令最小值大于等于4，求出m的范围．

解答：解：（Ⅰ）设它们的夹角为θ，则
cosθ=

OA • OB

| OA || OB |

=

m(-cosαsinβ+sinαcosβ)

m

=sin(α-β)=sin

π

6

=

1

2

，
故θ=

π

3

…（6分）．
（Ⅱ）由|

AB

|≥2|

OB

|
得（mcosα+sinβ）²+（msinα-cosβ）²≥4
即m²+1+2msin（β-α）≥4对任意的α，β恒成立…（9分）
则

m＞0 m2-2m+1≥4

或

m＜0 m2+2m+1≥4

，
解得m≤-3或m≥3…（13分）．

点评：求向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式来解决；解决不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值来解决．