Question

已知C（1，0），O为坐标原点，过双曲线的右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点。

   （1）求的值；

   （2）若动点M满足，求点M的轨迹方程。

Answer 1

解：（I）当AB与x轴垂直时，点A、B的坐标分别为（2，、）、（2，），

    此时=（1，）?（1，）=-1

    当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x--2）（k≠±1）

    代人X²-y²=2，有（1--k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0．

    设A（x₁,y₁）,B（x₂，y₂），则x₁,x₂是上述方程的两个实根，

所以， 

于是

          

          

           ． 

    综上所述，-1．

  （Ⅱ）设M（x，y），则=（x-1，y），

 

    由得：

(以下分两种解法)    

 解法一：于是AB的中点坐标为．

当AB不与x轴垂直时，

即

又因为A，B两点在双曲线上，所以，两式相减得

（x₁一x₂）（x₁₊ x₂）=(y_1-y₂）(y₁+y₂），即（x₁一x₂）（x+2）=（y₁-y₂）y．

将代入上式，化简得x²-y²=4

当AB与x轴垂直时，x₁=x₂=2，求得M（2，0），也满足上述方程．

所以点M的轨迹方程是x²一y²=4  

解法二：当AB不与x轴垂直时，由（I）可知：

消去参数k得：x²一y²=4   

当AB与x轴垂直时，x₁=x₂=2，y_l+y₂=0，求得M（2，0），也满上述方程   

所以点M的轨迹方程是x²-y²=4.