Question

已知A（1，0），B（0，1），C（cosα，sinα），且α∈（0，π）．
（1）O为坐标原点，若|

OA

-

OC

|=1，求角α的大小；
（2）若

AC

•

BC

=

1

3

，求cos2α的值．

Answer 1

分析：（1）由A与C的坐标，表示出

AC

，已知等式利用平面向量数量积运算法则变形，列出关系式，求出cosα的值，即可求出α的度数；
（2）利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式，整理得到sinα+cosα=

2

3

，两边平方利用同角三角函数间基本关系化简求出2sinαcosα的值，确定出sin2α的值，由2sinαcosα的值小于0，得到α的范围，确定出2α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos2α的值即可．

解答：解：（1）∵|

OA

-

OC

|=|

AC

|=1，A（1，0），C（cosα，sinα），且α∈（0，π），
∴（cosα-1）²+sin²α=1，
即cos²α+sin²α-2cosα+1=1，
∴cosα=

1

2

，
∵0＜α＜π，
∴α=

π

3

；
（2）∵

AC

•

BC

=

1

3

，
∴（cosα-1，sinα）•（cosα，sinα-1）=cos²α-cosα+sin²α-sinα=1-cosα-sinα=

1

3

，
整理得：sinα+cosα=

2

3

，
即（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

4

9

，
∴sin2α=2sinαcosα=-

5

9

＜0，
∴cosα＜0，sinα＞0，
即

π

2

＜α＜

3π

4

，
∴π＜2α＜

3π

2

，
∴cos2α=-

1-sin22α

=-

2 14

9

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．