Question

已知A（1，0），B（4，0），动点T（x，y）满足

|TA|

|TB|

=

1

2

，设动点T的轨迹是曲线C，直线l：y=kx+1与曲线C交于P，Q两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）若

OP

•

OQ

=-2，求实数k的值；
（3）过点（0，1）作直线l₁与l垂直，且直线l₁与曲线C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设D（x，y）为曲线C上任一点，由动点T（x，y）满足

|TA|

|TB|

=

1

2

，利用两点间距离公式能求出曲线C的方程．
（2）因为

OP

•

OQ

=2×2×cos∠POQ=-2，所以cos∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，由此利用圆心到直线l：kx-y+1=0的距离能求出k．
（3）当k=0时，四边形PMQN面积为4

3

．当k≠0时，圆心到直线l：kx-y+1=0的距离d=

1

k2+1

，S_PMQN=

1

2

|MN||PQ|=2

4- 1 k2+1

•

3+ 1 k2+1

，由此能求出四边形PMQN面积最大值．

解答：解：（1）设D（x，y）为曲线C上任一点，
∵动点T（x，y）满足

|TA|

|TB|

=

1

2

，
∴

|CA|

|CB|

=

1

2

=

(x-1)2+y2

(x-4)2+y2

，
化简整理得x²+y²=4．
∴曲线C的方程为x²+y²=4．（3分）
（2）因为

OP

•

OQ

=2×2×cos∠POQ=-2，
所以cos∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，
所以圆心到直线l：kx-y+1=0的距离d=

1

k2+1

=1，
所以k=0．（6分）
（3）当k=0时，|MN|=2

3

，|PQ|=4，SPMQN=

1

2

×2

3

×4=4

3

当k≠0时，圆心到直线l：kx-y+1=0的距离d=

1

k2+1

，
所以|MN|=2

4- 1 k2+1

l1：y=-

1

k

x+1，
同理得|PQ|=2

4- 1 (- 1 k )2+1

=2

4- k2 k2+1

=2

3+ 1 k2+1

，
∴S_PMQN=

1

2

|MN||PQ|=2

4- 1 k2+1

•

3+ 1 k2+1

，
S=2

-( 1 k2+1 - 1 2 )2+ 49 4

≤2×

7

2

=7，
当且仅当k=±1时取等号，
∴当k=±1时，S_max=7，
综上所述，当k=±1时，四边形PMQN面积有最大值7．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意向量知识、两点间距离公式、点到直线的距离公式等知识点的合理运用．