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已知f(x)=e2x+aex(a∈R)(e为自然对数底数).
(1)若a=-2e,试求f(x)的最小值;
(2)若f(x)在(-∞,0)和(1+∞)上具有相反的单调性,求a的范围.
(3)当a>0且x>-1时,求证:f(x)≥x2+(a+2)x+a+1.

解:(1)f′(x)=(2ex-2e)ex=0,得x=1,
当x<1时f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以x=1为唯一极小值点,也是最小值点,
所以f(x)的最小值为f(1)=-e2
(2)因为f(x)在(-∞,0)和(1+∞)上具有相反的单调性,
则有f′(x)=0的解在[0,1]上,即2ex+a=0的解在[0,1]上.
记h(x)=2ex+a,则h(0)•h(1)≤0,解得-2e≤a≤-2,
所以a的取值范围为[-2e,-2];
(3)即证明a>0且x>-1时,e2x+aex≥(x+1)2+a(x+1),
现证明ex≥x+1,记g(x)=ex-(x+1),令g′(x)=ex-1=0,得x=0,
当-1<x<0时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
所以x=0为唯一极小值点,也即最小值点,∴g(x)≥g(0)=0,∴ex≥x+1,
所以a>0且x>-1时,e2x≥(x+1)2,aex≥a(x+1),
∴e2x+aex≥(x+1)2+a(x+1).
分析:(1)求导数,利用导数判断函数的单调性,求出极值,进而得到最小值;
(2)由f(x)在(-∞,0)和(1+∞)上具有相反的单调性知:f′(x)=0的解在[0,1]上,根据零点存在定理可得一不等式,解出即可;
(3)问题即为证明a>0且x>-1时,e2x+aex≥(x+1)2+a(x+1),先利用导数证明ex≥x+1,再根据不等式的性质即可证明原不等式;
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及证明不等式,考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力.
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(2)在(1)的结论下,设g(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函数g(x)的最小值;
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