Question

已知f（x）=lnx-ax²-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*，求证：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

分析：（1）令导函数大于等于0恒成立，分离参数b，构造函数，利用基本不等式求出函数的最小值，令b小于等于最小值即可．
（2）令t=e^x，将g（x）转化为二次函数，通过对二次函数的对称轴与区间的位置关系的讨论，求出g（x）的最小值．
（3）先求出输数列的前三项的值，归纳出大于等于0，利用数学归纳法证得成立，构造函数F（x），利用导数求出F（x）的最值，得到lna_n≤a_n-1，得证．

解答：解：（1）依题意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）递增
∴f′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立
∴b≤

1

x

+2x
∵x＞0
∴

1

x

+2x≥2

2

当且仅当x=

2

2

时取“=”，
∴b≤2

2

，
且当b=2

2

时，x∈(0，

2

2

)，f′(x)＞0，f′(

2

2

)=0，x∈(

2

2

，+∞)，f′(x)＞0
∴符合f（x）在（0，+∞）是增函数∴b∈(-∞，2

2

]
（2）设t=e^x，
∵x∈[0，ln2]
∴1≤t≤2，
则函数g（x）化为：y=t2+bt=(t+

b

2

)2-

b2

2

，t∈[1，2]
①当-

b

2

≤1时，即-2≤b≤2

2

时．y在[1，2]递增∴当t=1时，y_min=b+1
②当1＜-

b

2

＜2时，即-4＜b＜-2，当t=-

b

2

，ymin=-

b2

4

③当-

b

2

≥2，即b≤-4时，y在[1，2]递减，当t=2时，y_min=4+2b
综上：g(x)min=

4+2b  &b≤-4 - b2 4  &-4＜b＜-2 1+b  &-2≤b≤2 2

（3）∵a₁=1，a₂=ln1+1+2=3＞1，a₃=ln3+3+2＞1
假设a_k≥1（n≥1），则a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，∴a_n≥1成立
设F（x）=lnx-x+1，（x≥1），则F′(x)=

1

x

-1＜0
∴F（x）在[1，+∞]单调递减，∴F（x）≤F（1）=0，∴lnx≤x-1
∴lna_n≤a_n-1，故a_n+1≤2a_n+1，∴a_n+1+1≤2（a_n+1）a_n+1+1≤2（a_n+1）≤2²（a_n-1+1）≤≤2ⁿ（a₁+1）=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1≤2ⁿ?a_n≤2ⁿ-1

点评：解决函数在区间上单调常转化为导函数大于等于0或小于等于0恒成立；证明不等式常通过构造函数，利用导数求函数的最值证得．