Question

如图，圆C₁：（x﹣a）²+y²=r²（r＞0）与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点
M（2，1），且抛物线在点M处的切线过圆心C₁．
（Ⅰ）求C₁和C₂的标准方程；
（Ⅱ）若点N为圆C₁上的一动点，求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得：把M（2，1）代入C₂：x²=2py（p＞0），解得p=2，
所以C₂：x²=4y
由得，
所以C₂在点M处的切线方程为y﹣1=x﹣2，
令y=0有x=1．
因为抛物线在点M处的切线过圆心C₁，所以圆心C₁（1，0），
又因为M （2，1）在圆C₁上所以（2﹣1）²+1=r²，
解得r²=2，
故C₁：（x﹣1）²+y²=2
（Ⅱ）设N（x，y），则，，
所以，
令x+y﹣1=t，代入（x﹣1）²+y²=2得（y﹣t）²+y²=2，
整理得2y²﹣2ty+t²﹣2=0
由△=4t²﹣8（t²﹣2）≥0得﹣2≤t≤2
所以的取值范围为[﹣2，2]．