Question

已知log_ax+3log_xa-log_xy=3（a＞1）
（1）若设x=a^t，试用a、t表示y
（2）若y有最小值8，求a的值．

Answer 1

分析：对于（1）若设x=a^t，试用a、t表示y．首先对等式log_ax+3log_xa-log_xy=3利用换底公式化简为（log_a^x）²-3log_a^x+3=log_a^y，然后把x=a^t代入化简即可．
对于（2）y有最小值8，求a的值．先根据（1）所解得的函数y=at2-3t+3，设z=t²-3t+3，然后根据复合函数求最值的方法求出y的最小值a

3

4

，得等式a

3

4

= 8，求解即可得到答案．

解答：解：（1）已知 log_ax+3log_xa-log_xy=3即log_ax+3log_xa-3=log_xy利用换底公式有：log_ax+3log_xa-3=

log y a

log x a

则；（log_a^x）²-3log_a^x+3=log_a^y．
设x=a^t用则：t=log_a^x．
即：t²-3t+3=log_a^y，y=at2-3t+3．
故答案为y=at2-3t+3．．
（2）当0＜t≤2时，y有最小值8，
设z=t²-3t+3．则y=a^z，因为a＞1所以函数y=a^z关于z单调递增．则z取最小值的时候y取最小值．
下求z的最小值，因为z=t²-3t+3，是开口向上的抛物线．则在对称轴取t=

3

2

得最小值z=

3

4

．代入函数y=a^z的最小值为y=a

3

4

．
因为y有最小值8，则a

3

4

= 8，a=16．
故答案为a=16．

点评：此题主要考查对数函数的运算问题，其中涉及到复合函数求最值的方法，在高考中属于重点考点，需要同学们理解并掌握．