Question

在△ABC中，且4cos（A+B）+2cos2C=-3．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²+b²-c²=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将cosC的值代入求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵A+B+C=180°，
由4cos（A+B）+2cos2C=-3，得-4cosC+2cos2C=-3，
∴-4cosC+2（2cos²C-1）=-3，
整理，得4cos²C-4cosC+1=0，
解得：cosC=

1

2

，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°；     
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
∴ab=a²+b²-c²=4，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，二倍角的余弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．