Question

已知a＞b，二次三项式ax²+2x+b≥0对于一切实数x恒成立．又?x₀∈R，使ax02+2x₀+b=0成立，则

a2+b2

a-b

的最小值为（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．2
• D．2

  2

Answer 1

分析：由条件求得a＞1，ab=1，由此把要求的式子化为

a4+1

a3-a

．化简(

a4+1

a3-a

)2为

(a2+ 1 a2  -2)2+4(a2+ 1 a2 )-4

(a2+ 1 a2 )-2

，令 a2+

1

a2

=t＞2，则(

a4+1

a3-a

)2=（t-2）+4+

4

t-2

，利用基本不等式求得(

a4+1

a3-a

)2的最小值为8，可得

a4+1

a3-a

的最小值．

解答：解：∵已知a＞b，二次三项式ax²+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，
∴a＞0，且△=4-4ab≤0，∴ab≥1．
再由?x₀∈R，使ax02+2x₀+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴a＞1．
∴

a2+b2

a-b

=

a2+ 1 a2

a- 1 a

=

a4+1

a3-a

＞0．
∴(

a4+1

a3-a

)2=

a8+1+2a4

a6+a2-2a4

=

a4+ 1 a4 +2

a2+ 1 a2 -2

=

(a2+ 1 a2 )2

(a2+ 1 a2 )-2

=

(a2+ 1 a2  -2)2+4(a2+ 1 a2 )-4

(a2+ 1 a2 )-2

．
令 a2+

1

a2

=t＞2，则 (

a4+1

a3-a

)2=

(t-2)2+4(t-2)+4

t-2

=（t-2）+4+

4

t-2

≥4+4=8，
故(

a4+1

a3-a

)2的最小值为8，故

a2+b2

a-b

 的最小值为

8

=2

2

，
故选D．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的难点和关键，属于中档题．