Question

21、已知数列{a_n}满足：（1）a₁=3；（2）a_n+1=2n²-n（3a_n-1）+a_n²+2（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）猜测数列{a_n}的通项，并证明你的结论；
（Ⅲ）试比较a_n与2ⁿ的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把n=1，2，3分别代入a_n+1=2n²-n（3a_n-1）+a_n²+2（n∈N*），得a₂=5，a₃=7，a₄=9．
（Ⅱ）猜测a_n=2n+1，然后用数学归纳法进行证明．
（Ⅲ）当n=1时，a₁=3＞2ⁿ；当n=2n=2时，a₂=5＞2²；当n=3时，a₃=7＜2³；当n=4时，a₄=9＜2⁴．猜想n≥3（n∈N*）时，a_n＜2ⁿ．然后用数学归纳法进行证明．

解答：解：（Ⅰ）a₂=5，a₃=7，a₄=9；（3分）
（Ⅱ）猜测a_n=2n+1，（1分）
证明如下：
当n=1时，a₁=3=2×1+1，结论成立；（1分）
若n=k时，结论成立，即a_k=2k+1，
则n=k+1时，
a_k+1=2k²-k（3a_k-1）+a_k²+2=2k²-k（6k+2）+（2k+1）²+2=2k+3，（2分）
于是n=k+1时，结论成立．
故对所有的正整数n，a_n=2n+1．（1分）
（Ⅲ）当n=1时，a₁=3＞2ⁿ；
当n=2n=2时，a₂=5＞2²；
当n=3时，a₃=7＜2³；
当n=4时，a₄=9＜2⁴；（1分）
猜想n≥3（n∈N*）时，a_n＜2ⁿ．（1分）
证明如下：
当n=3时，a₃=7＜3³，结论成立；（1分）
若n=k时，结论成立，即a_k＜2^k，（k≥3），也就是2k+1＜2^k，
则n=k+1时，
a_k+1=2k+3=（2k+1）+2＜2^k+2，
而（2^k+2）-2^k+1=2-2^k＜0?2^k+2＜2^k+1，（2分）
∴a_k+1＜2^k+1．
于是n=k+1时，结论成立．
从而对任意n≥3（n∈N*），有a_n＜2ⁿ．
综上所述，当n=1，2时，a_n＞2ⁿ；当n≥3时，a_n＜2ⁿ．（1分）

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要注意数学归纳法的证明技巧．