Question

（2013•韶关一模）如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=4，C是⊙O上一点，且PA=AC=BC，

PE

PC

=

PF

PB

=λ．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：EF⊥AE；
（3）当λ=

1

2

时，求三棱锥A-CEF的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线线平行证明线面平行即可；
（2）先根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，再根据线面垂直的性质证明线线垂直；
（3）利用三棱锥的换底性与棱锥的体积公式求解即可．

解答：解：（1）证明：在三角形PBC中，∵

PE

PC

=

PF

PB

=λ
∴EF∥BC，又BC?面ABC，EF?面ABC，
∴EF∥面ABC
（2）

PA⊥面ABC BC?面ABC

⇒BC⊥PA
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，
∴BC⊥面PAC．
∵EF∥BC  BC⊥面PAC，∴EF⊥面PAC
∵AE?面PAC，
∴EF⊥AE．
（3）∵在Rt△ABC中，AB=4∴PA=AC=BC=2

2

当λ=

1

2

时，E是PC中点．F为PB中点∴EF=

1

2

BC=

2

S△EAC=

1

2

S△PAC=

1

2

×

1

2

PA•AC=

1

2

×

1

2

×2

2

×2

2

=2，
∵EF⊥面PAC
∴V_A-CEF=V_F-ACE=

1

3

×S_△ACE×EF=

1

3

×2×

2

=

2 2

3

．

点评：本题考查线面平行的判定、线面垂直的性质及棱锥的体积计算．