Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{x+1}}，-1≤x≤0\\{x^3}-3x+2，0＜x≤a\end{array}$的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，1]
• B． [1，$\sqrt{3}$]
• C． [1，2]
• D． [$\sqrt{3}$，2]

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式先求出当-1≤x≤0上的值域，结合函数在定义域上的值域关系，确定a的范围即可得到结论．

解答 解：当-1≤x≤0时，f（x）=2^x+1∈[1，2]，
当0＜x≤a时，f（x）=x³-3x+2，
函数的导数f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
由f′（x）＞0得x＞1或x＜-1，
由f′（x）＜0得-1＜x＜1，
则当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0，
∵f（0）=2，
∴若函数f（x）的值域为[0，2]，
则a≥1，
且当a≥1时，f（a）≤2，
即a³-3a+2≤2，得a³-3a≤0，
a²-3≤0，
得1≤a≤$\sqrt{3}$，
故选：B

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据函数值域的范围，利用导数法和数形结合判断函数的取值范围是解决本题的关键．