Question

12．已知各项为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n且满足a_n²+2a_n=4S_n．
（Ⅰ）数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{n+2}{{{2^n}{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，结合等差数列的通项公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{n+2}{{{2^n}{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n}•2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a_n²+2a_n=4S_n．
即为${a_1}^2+2{a_1}=4{S_1}=4{a_1}$，
解得a₁=2或者a₁=0（舍去）
又${a_n}^2+2{a_n}=4{S_n}$①
当n≥2时，${a_{n-1}}^2+2{a_{n-1}}=4{S_{n-1}}$②
①-②得：${a_n}^2-a_{n-1}^2+2（{a_n}-{a_{n-1}}）=4{a_n}$，
分解因式得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0；
又a_n＞0，可得a_n-a_n-1=2（n≥2），
则数列{a_n}是以首项为2，公差为2的等差数列，
则a_n=2n；
（Ⅱ）b_n=$\frac{n+2}{{{2^n}{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n}•2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]，
则T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2•{2}^{2}}$+$\frac{1}{2•{2}^{2}}$-$\frac{1}{3•{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+2}}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，以及等差数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．