Question

20．已知数列{a_n}满足a_n+2+a_n=2a_n+1，且a₁=1，a₂=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n项和为S_n，求证：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质，可得数列{a_n}是等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式可得d=3，可得所求通项公式；
（2）求得$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$，运用裂项相消求和，化简整理，结合不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）由a_n+2+a_n=2a_n+1，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
可得数列{a_n}是等差数列，设公差为d，
由a₂=4，即a₁+d=4，解得d=3，
则a_n=1+3（n-1）=3n-2；
（2）证明：$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{3}{（3n-2）（3n+1）}=\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$，
则${S_n}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}=1-\frac{1}{3n+1}$，
由$\frac{1}{3n+1}＞0$，可得S_n＜1．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．