[番茄花园1] 如图, 在矩形中,点分别
在线段上,.沿直线
将 翻折成,使平面.
(Ⅰ)求二面角的余弦值;
(Ⅱ)点分别在线段上,若沿直线将四
边形向上翻折,使与重合,求线段
的长。
[番茄花园1]1.
[番茄花园1] 解析:本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同事考查空间想象能力和运算求解能力。
(Ⅰ)解:取线段EF的中点H,连结,因为=及H是EF的中点,所以,
又因为平面平面.
如图建立空间直角坐标系A-xyz
则(2,2,),C(10,8,0),
F(4,0,0),D(10,0,0).
故=(-2,2,2),=(6,0,0).
设=(x,y,z)为平面的一个法向量,
-2x+2y+2z=0
所以
6x=0.
取,则。
又平面的一个法向量,
故。
所以二面角的余弦值为
(Ⅱ)解:设则,
因为翻折后,与重合,所以,
故, ,得,
经检验,此时点在线段上,
所以。
方法二:
(Ⅰ)解:取线段的中点,的中点,连结。
因为=及是的中点,
所以
又因为平面平面,
所以平面,
又平面,
故,
又因为、是、的中点,
易知∥,
所以,
于是面,
所以为二面角的平面角,
在中,=,=2,=
所以.
故二面角的余弦值为。
(Ⅱ)解:设,
因为翻折后,与重合,
所以,
而,
得,
经检验,此时点在线段上,
所以。
[番茄花园1]20.
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