Question

求下列数列的前n项和S_n：
（1）a，2a²，3a³，…，naⁿ，…；
（2）1×3，2×4，3×5，4×6，…

Answer 1

分析：（1）分a=1，a≠1两种情况求解，当a=1时为等差数列易求；当a≠1时利用错位相减法即可求得；
（2）其通项为a_n=n（n+2）=n²+2n，根据通项对数列各项进行分组求和，再运用公式即可求得；

解答：解：（1）当a=1时，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；
当a≠1时，S_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ，①
aS_n=a²+2a³+3a⁴+…+naⁿ⁺¹，②
①-②得，（1-a）S_n=a+a²+a³+a⁴+…+aⁿ-naⁿ⁺¹=

a(1-an)

1-a

-naⁿ⁺¹，
所以S_n=

a(1-an)

(1-a)2

-

nan+1

1-a

．
所以当a=1时，S_n=

n(n+1)

2

；当a≠1时，S_n=

a(1-an)

(1-a)2

-

nan+1

1-a

．
（2）数列通项a_n=n（n+2）=n²+2n，
则S_n=1×3+2×4+3×5+4×6+…+n（n+2）
=（1²+2×1）+（2²+2×2）+（3²+2×3）+（4²+2×4）+…+（n²+2n）
=（1²+2²+3²+…+n²）+2（1+2+3+4+…+n）
=

n(n+1)(2n+1)

6

+2×

n(n+1)

2

=n²+n．

点评：本题主要考查等差、等比数列的求和公式，考查错位相减法、分组求和法，属中档题，熟记相关方法及有关公式是解决该类问题的基础．