Question

【题目】已知，，.

（1）若与垂直，求的值；

（2）求的最大值；

（3)若，求证：∥．

Answer 1

【答案】（1）tan（α+β）=2（2）（3）见解析

【解析】

（1）根据垂直关系，写出坐标表示形式，化简可得结果；（2）将表示成坐标的形式并进行化简，利用三角函数的有界性求最大值；（3）对直接化简，将其转为向量平行的形式.

（1）∵=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ），与垂直，

∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，

即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），

∴sin（α+β）=2cos（α+β），

∴tan（α+β）=2．

（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），

∴=

，

∴当sin2β=﹣1时，取最大值，且最大值为．

（3）∵tanαtanβ=16，

∴

即sinαsinβ=16cosαcosβ，

∴（4cosα）（4cosβ）=sinαsinβ，

即与共线，

∴∥．