Question

已知向量

m

=（1+cosB，sinB）与向量

n

=（0，1）的夹角为

π

3

，其中A、B、C为△ABC的三个内角．
（1）求角B的大小；
（2）若AC=2

3

，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的夹角公式列出cos

π

3

，利用同角三角函数间的基本关系化简得到关于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）设出三角形的三边，由b的值表示出三角形的周长，利用正弦定理化简后，把（1）求出的sinB代入，再利用和差化积公式及特殊角的三角函数公式化为一个角的余弦函数，由A的范围，利用余弦函数的值域即可求出周长的最大值．

解答：解：（1）cos＜

m

，

n

＞=cos

π

3

=

1

2

=

m • n

| m || n |

=

sinB

(1+cosB)2+sin2B •1

，
∴

sin2B

2+2cosB

=

1

4

，（2分）即2cos²B+cosB-1=0，
∴cosB=

1

2

或cosB=-1（舍）（4分）
而B∈（0，π），∴B=

π

3

（6分）
（2）令AB=c，BC=a，AC=b，△ABC的周长为l，则l=a+c+2

3

而a=b•

sinA

sinB

，c=b•

sin( 2 3 π-A)

sinB

，
∴l=

b

sinB

[

3

2

+sinA+sin(

2

3

π-A)]=2

3

+4[sinA+sin(

2

3

π-A)]
=2

3

+4×2sin

π

3

cos(-

π

3

+A)=2

3

+4

3

cos(A-

π

3

)（10分）
∵A∈（0，

2π

3

），∴A-

π

3

∈(-

π

3

，

π

3

)，
当且仅当A=

π

3

时，lmax=2

3

+4

3

=6

3

．（12分）

点评：此题考查学生掌握平面向量的夹角公式，灵活运用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用正弦定理及和差化积公式化简求值，掌握余弦函数的值域，是一道中档题．