Question

已知函数y=

3-4x+x2

+lg(

2+x

2-x

)的定义域为M，
（1）求M；
（2）当x∈M时，求f（x）=4^x-2^x+1的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的x所满足的不等式组，再求它们的交集即可．
（2）令t=2^x，则可将函数 f（x）=4^x-2^x+1转化为一个二次函数，然后根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到（x）的最小值．

解答：解：（1）∵由题可得

3-4x+x2≥0 2+x 2-x ＞0

可解得：-2＜x≤1，
得M=（-2，1]…（6分）
（2）∴f（x）=4^x-2^x+1=（2^x）²-2•2^x=（2^x-1）²-1

∵  -2＜x≤1    ∴      2-2 ＜2x≤2        ∴  当2x=1，即x=0时，f(x)min =-1

∴f（x）=4^x-2^x+1的最小值为-1．

点评：本题考查的知识点是指数函数在定区间上的值域，及二次函数在定区间上的值域，其中利用换元法，将问题转化为一个二次函数问题是解答本题的关键．