Question

3．已知等差数列{a_n}中，公差d≠0，数列${a_{k_1}}$，${a_{k_2}}$，${a_{k_3}}$，…，${a_{k_n}}$，…是等比数列，其中k₁=1，k₂=7，k₃=25．
（Ⅰ）求{${a_{k_n}}$}的通项公式（含参数d）及{k_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₁=9，b_n=$\frac{1}{{\sqrt{{{log}_3}{a_{k_n}}}+\sqrt{{{log}_3}（{k_n}+2）}}}$（n∈N⁺），S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：S_n＜$\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）把（I）d代入k可得：b_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，再利用“累加求和”、不等式的性质即可得出．

解答 （I）解：∵数列${a_{k_1}}$，${a_{k_2}}$，${a_{k_3}}$，…，${a_{k_n}}$，…是等比数列，其中k₁=1，k₂=7，k₃=25．
∴${a}_{7}^{2}$=a₁a₂₅，
∴$（{a}_{1}+6d）^{2}$=a₁（a₁+24d），
化为：a₁=3d．
公比$\frac{{a}_{7}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{1}+6d}{{a}_{1}}$=$\frac{9d}{3d}$=3．
∴${a}_{{k}_{n}}$=3d•3^n-1=d•3ⁿ．
另一方面：${a}_{{k}_{n}}$=a₁+（k_n-1）d=（k_n+2）d，
∴（k_n+2）d=d•3ⁿ，d≠0，
解得k_n=3ⁿ-2．
（II）证明：a₁=9，∴3d=9，d=3．
∴${a}_{{k}_{n}}$=d•3ⁿ=3ⁿ⁺¹．
k_n=3ⁿ-2．
b_n=$\frac{1}{{\sqrt{{{log}_3}{a_{k_n}}}+\sqrt{{{log}_3}（{k_n}+2）}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
数列{b_n}的前n项和S_n=$（\sqrt{2}-1）$+$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）
=$\sqrt{n+1}-1$＜$\frac{n}{2}$+1-1=$\frac{n}{2}$，
∴S_n＜$\frac{n}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．