Question

11．在△ABC中满足条件acosB+bcosA=2ccosC，
（1）求∠C；
（2）若c=2，求三角形ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，化简可得$cosC=\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），即可得解．
（2）由余弦定理可得ab≤4，等号当a=b时成立，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，故$cosC=\frac{1}{2}$，
∵∠C∈（0，π），
∴$C=\frac{π}{3}$…（6分）
（2）∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴ab=a²+b²-4≥2ab-4，即ab≤4，等号当a=b时成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{4}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．