Question

双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是

1. A.
   [4-4，4）
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：因为双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，所以a+b+c=4，把a+b用c表示，代入a²+b²=c²中，化简，再用均值不等式就可得到c的一个范围，再根据a²+b²=c²，得到c＜a+b，代入a+b+c=4，又可得到c的一个范围，两个范围取公共部分，就可得到半焦距c的取值范围．
解答：∵双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，
∴2a+2b+2c=8，a+b+c=4，∴a+b=4-c
在双曲线中，a²+b²=c²，
∴a²+b²+2ab-2ab=c²，即（a+b）²-2ab=c²，
∴（4-c）²-2ab=c²，ab=
∵a＞0，b＞0，∴ab≤=
即≤，化简得，c²+8c-16≥0
解得，c≥4-4，或c≤-4-4
又∵a²+b²=c²，
∴c＜a+b，
∴2c＜a+b+c=4，c＜2
∴半焦距c的取值范围是[4-4，2）
故选D
点评：本题主要考查双曲线中a，b，c的关系式，以及和均值定理相结合求范围，属于综合题．