Question

若函数f(x)=

2x

2x+1

+sinx在区间[-k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n=

1

．

Answer 1

分析：本题要求的是函数最大值与最小值的和，由函数的解析式，可通过研究函数的对称性来探究解题的思路，故可先求出f（-x），再与函数f(x)=

2x

2x+1

+sinx进行比较，总结规律，再由本题中所求的m+n的值是一个定值，采用特殊值法求出答案

解答：解：因为f(-x)=

2-x

2-x+1

+sin(-x)=

1

1+2x

-sinx
对比f(x)=

2x

2x+1

+sinx得f（x）+f（-x）=1   ①
又本题中f(x)=

2x

2x+1

+sinx在区间[-k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，即无论k取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值
故可令k=1，由于函数f(x)=

2x

2x+1

+sinx在区间[-k，k]（k＞0）上是一个增函数，故m+n=f（k）+f（-k）
由①知，m+n=f（k）+f（-k）=1
故答案为1

点评：本题是一个比较隐蔽的函数性成立的问题，解题的关键有二，一是意识到m+n是一个定值，再就是根据所给区间[-k，k]（k＞0）关于原点对称，联想到研究f（x）+f（-x）的值，这是本题解题的重点，难点是领会到m+n是一个定值，本题考查了推理判断的能力，比较抽象，题词后要注意领会本题做题中的经验技巧．