Question

在数列{a_n}中，已知a1=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等差数列；
（3）设数列{c_n}满足c_n=a_n+b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题设知数列{a_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn+2=3log

1

4

an，知bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2．由此能够证明数列{b_n}是等差数列．
（3）由an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，知c_n=a_n+b_n=（

1

4

）ⁿ+3n-2，由此利用分组求和法能求出{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）在数列{a_n}中，∵a1=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)，
∴数列{a_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列，
∴a_n=（

1

4

）ⁿ，n∈N^*．
（2）∵bn+2=3log

1

4

an，
∴bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2．
∴b₁=1，b_n+1-b_n=3，
∴数列{b_n}是首项为b₁=1，公差d=3的等差数列．
（3）由（1）知an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，
∴c_n=a_n+b_n=（

1

4

）ⁿ+3n-2，
∴S_n=1+

1

4

+4+（

1

4

）²+7+（

1

4

）³+…+（3n-5）+（

1

4

）^n-1+（3n-2）+（

1

4

）ⁿ
=[1+4+7+…+（3n-5）+（3n-2）]+[

1

4

+（

1

4

）²+（

1

4

）³+…+（

1

4

）ⁿ]
=

n(1+3n-2)

2

+

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

3n2-n

2

+

1

3

-

1

3

•(

1

4

)n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查数列的前n和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意分组求和法的合理运用．