Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点，
(Ⅰ)求证：AC⊥平面SBD；
(Ⅱ)若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论。

Answer 1

(1)证明：∵底面ABCD是菱形，O为中心，
∴AC⊥BD，
又SA=SC，
∴AC⊥SO，而SO∩BD=O，
∴AC⊥面SBD；
(2)解：取棱SC的中点M，CD的中点N，连结MN，则动点P的轨迹即是线段MN；
证明：连结EM、EN，
∵E是BC的中点，M是SC的中点，
∴EM∥SB，同理，EN∥BD，
∴平面EMN∥平面SBD，
∵AC⊥平面SBD，
∴AC⊥平面EMN，
因此，当点P在线段MN上运动时，总有AC⊥EP；
P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥EP。