Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设bn=

an+1

(an+1)(an+1+1)

(n∈N*)，数列{b_n}的前n项和为T_n，若

7

8

＜Tn＜

15

16

，求n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1…①及a₁+a₂+…+a_n-a_n+1=-1…②，由①-②得：a_n+1-2a_n=0，即

an+1

an

=2(n≥2)，当n=2时，单独考虑，即可得到数列{a_n}是首项为，公比为2的等比数列；
（II）利用（Ⅰ）an=2n-1（n∈N^*），于是bn=

an+1

(an+1)(an+1+1)

=

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)，进而即可得到T_n．

解答：解：（Ⅰ）由题意a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1…①
∴a₁+a₂+…+a_n-a_n+1=-1…②
由①-②得：a_n+1-2a_n=0，即

an+1

an

=2(n≥2)
当n=2时，a₁-a₂=-1，∵a₁=1，∴a₂=2，

a2

a1

=2，
所以，数列{a_n}是首项为，公比为2的等比数列，
故an=2n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）an=2n-1（n∈N^*）
所以bn=

an+1

(an+1)(an+1+1)

=

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)]=2(

1

2

-

1

2n+1

)=

2n-1

2n+1

，
∵

7

8

＜Tn＜

15

16

，
∴n=4．

点评：熟练掌握等比数列的定义及其通项公式、裂项求和的方法等是解题的关键．