Question

【题目】已知函数f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）﹣ax．若直线y=x与曲线y=f（x）至少有两个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：设x＞0，则﹣x＜0，

∵f（x）为偶函数，且当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）﹣ax，

∴当x＞0时，f（x）=f（﹣x）=lnx+ax．

∴f（x）= ．

若直线y=x与曲线y=f（x）至少有两个交点，即方程f（x）=x至少有两个根．

令g（x）=f（x）﹣x= ．

下面研究：

当x＜0时，函数g（x）=ln（﹣x）﹣ax﹣x零点情况：

由g（x）=ln（﹣x）﹣ax﹣x=0，得ln（﹣x）=（a+1）x．

作出y=ln（﹣x）的图象如图：

若a+1≥0，即a≥﹣1，则y=ln（﹣x）与y=（a+1）x有1个交点，

若a+1＜0，即a＜﹣1，设直线y=（a+1）x与y=ln（﹣x）的切点为（x0，ln（﹣x0）），

则切线方程为y﹣ln（﹣x0）= （x﹣x0），代入原点（0，0），可得ln（﹣x0）=1，x0=﹣e．

则切点为（﹣e，1），切线斜率为﹣ ，要使直线y=（a+1）x与y=ln（﹣x）有交点，则a+1 ，即a ；

当x＞0时，函数g（x）=lnx+ax﹣x零点情况：

由g（x）=lnx+ax﹣x=0，得lnx=（﹣a+1）x．

作出y=lnx的图象如图：

若﹣a+1≤0，即a≥1，则y=lnx与y=（﹣a+1）x有1个交点，

若﹣a+1＞0，即a＜1，设直线y=（﹣a+1）x与y=lnx的切点为（x0，lnx0），

则切线方程为y﹣lnx0= （x﹣x0），代入原点（0，0），可得lnx0=1，x0=e．

则切点为（e，1），切线斜率为 ，要使直线y=（﹣a+1）x与y=lnx有交点，则﹣a+1 ，即 ．

综上，满足直线y=x与曲线y=f（x）至少有两个交点，则实数a的取值范围是 ．

故选：D．