Question

在R上定义运算：p?q=-

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3

(p-c)(q-b)+4bc（b、c∈R是常数），已知f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，f（x）=f₁（x）f₂（x）．
①如果函数f（x）在x=1处有极值-

4

3

，试确定b、c的值；
②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
③记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：x³-3bx²+4b³=（x+b）（x-2b）²）

Answer 1

分析：①由题意得到f（x）的解析式，求出f′（x）因为在x=1处有极值得到f（1）=-

4

3

，f′（1）=0求出b、c即可；（2）因为切线的斜率为c，则解出f′（t）=c时t的值得到切点坐标，写出切线方程与曲线解析式联立求出公共点可知公共点的个数；（3）根据题意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范围即可．

解答：解：①依题意f(x)=-

1

3

x3+bx2+cx+bc，
解

f(1)=- 4 3 f/(1)=0

得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

．
若

b=1 c=-1

，f(x)=-

1

3

x3+x2-x-1，
′（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0f（x）在R上单调递减，
在x=1处无极值；若

b=-1 c=3

，f(x)=-

1

3

x3-x2+3x-3，
f′（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），直接讨论知，
f（x）在x=1处有极大值，所以

b=-1 c=3

为所求．
②解f′（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、(2b，3bc+

4

3

b3)，
相应的切线为y=cx+bc或y=cx+bc+

4

3

b3．
解cx+bc=-

1

3

x3+bx2+cx+bc
得x=0或x=3b；
解cx+bc+

4

3

b3=-

1

3

x3+bx2+cx+bc
即x³-3bx²+4b³=0
得x=-b或x=2b．
综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），b≠0时，
斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和
(2b，

4

3

b 3+3bc)、(-b，

4

3

b3)．
③g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．若|b|＞1，则f′（x）在[-1，1]是单调函数，
M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，
因为f′（1）与f′（-1）之差的绝对值|f′（1）-f′（-1）|=|4b|＞4，所以M＞2．
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取极值，
则M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b?1）²．
若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b
M=max{|f/(1)|，|f/(b)|}≥

1

2

|f/(1)-f/(b)|=

1

2

(b-1)2＞

1

2

；
若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），
M=max{|f′（-1）|，|f′（b）|}≥

1

2

|f/(-1)-f/(b)|=

1

2

(b+1)2≥

1

2

．
当b=0，c=

1

2

时，g(x)=|f/(x)|=|-x2+

1

2

|在[-1，1]上的最大值M=

1

2

．
所以，k的取值范围是(-∞，

1

2

]．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用导数求曲线上某一点的切线方程的能力．